Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求BE的長；
（Ⅲ）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出

BE

=（0，1，1），

DC

=（2，0，0），由

BE

•

DC

=0，能證明BE⊥DC．
（Ⅱ）由

BE

=（0，1，1），能求出BE的長．
（Ⅲ）由BF⊥AC，求出

BF

，進(jìn)而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F-AB-P的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
E（1，1，1），D（0，2，0），

BE

=（0，1，1），

DC

=（2，0，0），
∴

BE

•

DC

=0，∴BE⊥DC．
（Ⅱ）解：∵

BE

=（0，1，1），
∴BE的長為|

BE

|=

0+1+1

=

2

．
（Ⅲ）解：∵

BC

=(1，2，0)，

CP

=(-2，-2，2)，

AC

=（2，2，0），由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)

CF

=λ

CP

=（-2λ，-2λ，2λ），0≤λ≤1，
∴

BF

=

BC

+

CF

=（1-2λ，2-2λ，2λ），
∵BF⊥AC，∴

BF

•

AC

=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得λ=

3

4

，
設(shè)平面FBA的法向量為

n

=(a，b，c)，
則

n • AB =a=0 n • BF =- 1 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c=0

，
取c=1，得

n

=（0，-3，1），
取平面ABP的法向量

i

=（0，1，0），
則二面角F-AB-P的平面角滿足：
cosα=

| i • n |

| i |•| n |

=

3

10

=

3 10

10

，
∴二面角F-AB-P的余弦值為

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，考查線線垂直、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．