Question

設函數f（x）=2x+

a

2x

-1（a為實數）
（1）當a=0時，若函數y=g（x）為奇函數．當x＞0時，g（x）=f（x）．求y=g（x）的解析式．
（2）當a＜0時，求關于x的方程f（x）=0的實根．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據奇函數的定義轉化設x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=1-2^-x，（x＜0），別忽視了x=0，
（2）2x+

a

2x

-1=0（a＜0），求解，再取對數，即可．

解答： 解：∵函數f（x）=2x+

a

2x

-1（a為實數）
∴當a=0時f（x）=2^x-1，
（1）∵函數y=g（x）為奇函數．當x＞0時，g（x）=2^x-1，
∴f（-x）=-f（x），
f（0）=0，
設x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=1-2^-x，（x＜0）
故g（x）=

2x-1，x＞0 0，x=0 1-2-x，x＜0

，
（2）函數f（x）=2x+

a

2x

-1（a＜0），
∵a＜0，∴函數f（x）=2x+

a

2x

-1（a＜0）在R上單調遞增，
∵2x+

a

2x

-1=0（a＜0），
∴（2^x）²-2^x+a=0，
設t=2^x，t²-t+a=0，t＞0
∴t=

1+ 1-4a

2

，
x=log₂t=log₂

1+ 1-4a

2

，
故實根為log₂

1+ 1-4a

2

，

點評：本題考查了函數的性質，換元法求解方程的問題，求解函數解析式，難度不大．