Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x+

a

2x

-1（a為實(shí)數(shù)）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，若函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）．求y=g（x）的解析式．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求關(guān)于x的方程f（x）=0的實(shí)根．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化設(shè)x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=1-2^-x，（x＜0），別忽視了x=0，
（2）2x+

a

2x

-1=0（a＜0），求解，再取對數(shù)，即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2x+

a

2x

-1（a為實(shí)數(shù)）
∴當(dāng)a=0時(shí)f（x）=2^x-1，
（1）∵函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=2^x-1，
∴f（-x）=-f（x），
f（0）=0，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（2^-x-1）=1-2^-x，（x＜0）
故g（x）=

2x-1，x＞0 0，x=0 1-2-x，x＜0

，
（2）函數(shù)f（x）=2x+

a

2x

-1（a＜0），
∵a＜0，∴函數(shù)f（x）=2x+

a

2x

-1（a＜0）在R上單調(diào)遞增，
∵2x+

a

2x

-1=0（a＜0），
∴（2^x）²-2^x+a=0，
設(shè)t=2^x，t²-t+a=0，t＞0
∴t=

1+ 1-4a

2

，
x=log₂t=log₂

1+ 1-4a

2

，
故實(shí)根為log₂

1+ 1-4a

2

，

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，換元法求解方程的問題，求解函數(shù)解析式，難度不大．