Question

（本小題滿分12分）

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）證明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．

Answer 1

解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形
因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ.   ………………6分
（II）設(shè)AB=a.
由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABCD的高，所以棱錐Q—ABCD的體積
由（I）知PQ為棱錐P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面積為，
所以棱錐P—DCQ的體積為
故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.…………12分

略