Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}是首項為a₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，
（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，
當n=1時，a₁=S₁=4-2=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
a₁=2適合上式．
∴a_n=2ⁿ；
∵b₁，b₃，b₁₁成等比數(shù)列，
∴b32=b1b11，即（2+2d）²=2（2+10d），解得d=3，d=0（舍去），
∴b_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）由（1）知，c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
∴T_n=2•2¹+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ①，
2T_n=2•2²+5•2³+8•2⁴+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹②，
①-②，得-T_n=2•2+3•2²+3•2³+…+3•2ⁿ-（3n-1）•2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-2
=3•

2(1-2n)

1-2

-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-2
=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8，
∴T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

點評：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．