Question

已知M（2，2

2

）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)且∠AOB=90°，求證：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若過原點(diǎn)O向直線AB作垂線，求垂足P（x，y）的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由M（2，2

2

）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，能求出p=2，由此能求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y²=4x，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)結(jié)合已知條件能證明直線恒過定點(diǎn)N（4，0）．
（3）由已知條件推導(dǎo)出P點(diǎn)在以O(shè)N為直徑的圓周上（除去原點(diǎn)），由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： （1）解：∵M(jìn)（2，2

2

）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，
∴(2

2

)2=2p•2，解得p=2，
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．（3分）
（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立y²=4x，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
依題意有k≠0，x1+x2=-

2km-4

k2

，且x1x2=

m2

k2

，
則∠AOB=90°，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2
=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
(1+k2)

m2

k2

+km(-

2km-4

k2

)+m2=0，
化簡得m²+4km=0，
∴m=-4k，此時(shí)直線l：y=kx-4k=（x-4）k，恒過點(diǎn)N（4，0）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
設(shè)l：x=t，解得t=4，∴直線恒過定點(diǎn)N（4，0）．（8分）
（3）解：過原點(diǎn)O向直線AB：y=k（x-4）垂線，垂中為P，
則P點(diǎn)在以O(shè)N為直徑的圓周上（除去原點(diǎn)），
∵O（0，0），N（4，0），
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：（x-2）²+y²=4（x≠0）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，考查垂足的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．