Question

【題目】若函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)，方程的解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)（可以是0個(gè)，但不能是無數(shù)個(gè)），則稱為“偶的函數(shù)”.證明：

（1）任何多項(xiàng)式均不是偶的函數(shù)；

（2）存在連續(xù)函數(shù)是偶的函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）注意到，多項(xiàng)式的定義域?yàn)镽，將其劃分為如下增減交替的單調(diào)區(qū)間：

，，，

其中，為所有的極值點(diǎn).

不妨設(shè)的首項(xiàng)系數(shù)為正.

若為奇數(shù)，則、均為單調(diào)遞增區(qū)間.

且，.

取，則方程僅在區(qū)間上有一解，此時(shí)，不是偶的函數(shù).

若為偶數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間，為單調(diào)遞增區(qū)間.故k為奇數(shù).從而，必存在一個(gè)極值恰被奇數(shù)個(gè)取到.

考慮方程的根，根據(jù)各區(qū)間的增減交替性，恰有偶數(shù)個(gè)區(qū)間含有這些根，每個(gè)區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為1，但其中在極值點(diǎn)處取到的根均被計(jì)算了兩遍，故應(yīng)扣除奇數(shù)個(gè).

因此，方程的根是奇數(shù)個(gè)，即不是偶的函數(shù).

綜上，任何多項(xiàng)式均不是偶的函數(shù).

（2）構(gòu)造一個(gè)的例子.

當(dāng)x為正奇數(shù)或x=0時(shí)，定義=x；

當(dāng)x為正偶數(shù)時(shí)，定義=x-2；

當(dāng)x為負(fù)奇數(shù)時(shí)，定義=-x+1；

當(dāng)x為負(fù)偶數(shù)時(shí)，定義=-x-1.

當(dāng)時(shí)，定義.

這樣定義的函數(shù)是連續(xù)的.

可以驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，無解；

當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)解；

當(dāng)時(shí)，恰有四個(gè)解.

故所構(gòu)造的為一個(gè)偶的函數(shù).