【題目】在如圖所示的幾何體中, , , , 二面角的大小為.

(1)求證: 平面;

(2)求平面與平面所成的角(銳角)的大;

(3)若的中點(diǎn),求直線與平面所成的角的大小.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知可得AC⊥CD,AC⊥CB,即BCD為二面角B﹣AC﹣E的平面角,即BCD=60°,求解三角形可得BDDC,再由線面垂直的判定可得AC平面BCD,得到ACBD,進(jìn)一步得到BD平面ACDE;

(Ⅱ)由BD平面ACDE,得BD⊥DC,BD⊥DE,可得DB,DC,DE兩兩垂直,分別以DB,DC,DE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面BAE與平面BCD的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面BCD與平面BAE所成的角;

)若F為AB的中點(diǎn),由(II)可得,進(jìn)一步得到,由已知可得平面BDE的一個(gè)法向量為,由所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線EF與平面BDE所成角的大小.

試題解析:

1因?yàn)?/span>,則, ,

所以為二面角的平面角,即,

中, , ,

所以,所以,即,

, ,且,可知平面,

平面,所以,

又因?yàn)?/span>, 平面, 平面,

所以平面

2)由平面 ,,即 , 兩兩垂直,

則以, , 分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

由(I)知 , , ,

依題意, ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,即,不妨設(shè),可得,

平面可知平面的一個(gè)法向量為

設(shè)平面與平面所成的角(銳角)為,

所以,于是,

所以平面與平面所成的角(銳角)為

3)若的中點(diǎn),則由(II)可得,所以,

依題意平面,可知平面的一個(gè)法向量為,

設(shè)直線與平面所成角為,則

,所以直線與平面所成角的大小

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