Question

【題目】如圖，在多面體中，已知是邊長(zhǎng)為2的正方形， 為正三角形， 分別為的中點(diǎn)， 且， .

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）取取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件可證得四邊形為平行四邊形，故，由線面平行的判定定理可得結(jié)論．（2）由條件可得平面，故得；又正三角形中，可得平面．（）由（1）、（2）可知平面，故為與平面所成的角，解三角形可得，即與平面所成角的正弦值為．

試題解析：

（1）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，

所以，

又，

所以，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)， ，

所以，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面.

（2）證明：因?yàn)?/span>， ，

所以．

在正方形中， ，

又，

所以平面．

又平面，

所以，

在正三角形中，

又，

所以平面．

（3）如圖2，連接，

由（1）、（2）可知平面．

所以為與平面所成的角.

在中， ， ，

所以，

所以，

即與平面所成角的正弦值為．