【題目】如圖①：在平行四邊形中,,,將沿對(duì)角線折起,使,連結(jié),得到如圖②所示三棱錐.

（1）證明：平面；

（2）若,二面角的平面角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明,從而證明平面,進(jìn)而得出,即可證平面.最后證得平面.

（2）若,二面角的平面角的正切值為,由（1）知平面,

因?yàn)?/span>平面,所以,

又,所以即為二面角的平面角,得,從而求出,,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的法向量為,

最后根據(jù)公式,即得直線與平面所成角大小.

（1）證明：在平行四邊形中,,

則.

在三棱錐中,因?yàn)?/span>,.

所以平面,所以.

又,,所以平面.

又平面,所以.

因?yàn)?/span>,,所以平面.

（2）解：由（1）知平面,

因?yàn)?/span>平面,所以,

又,所以即為二面角的平面角,即.

因?yàn)?/span>平面,平面.

所以,故,

又.所以.

在平行四邊形,,,

所以與為相似三角形,則,

故（）,解得,

故,解得,

所以,.

過(guò)點(diǎn)作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

則,,,.

所以,,.

設(shè)平面的法向量為,

則

令,得.

設(shè)直線與平面所成角為,

即直線與平面所成角為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

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（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機(jī)抽出11天的數(shù)據(jù)來(lái)分析可配送貨物量少的原因，并從這11天的數(shù)據(jù)中再抽出3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行財(cái)務(wù)分析，求這3天的數(shù)據(jù)中至少有2天的數(shù)據(jù)來(lái)自這一組的概率.

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該物流公司每日的可配送貨物量T（單位：箱）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù).

（ⅰ）試?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計(jì)該物流公司2000天內(nèi)日貨物配送量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.

（ⅱ）該物流公司負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎(jiǎng)勵(lì)方案.

方案一：直接發(fā)放獎(jiǎng)金，按每日的可配送貨物量劃分為以下三級(jí)：時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；，獎(jiǎng)勵(lì)80元；時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)120元.

方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中每日的可配送貨物量不低于時(shí)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每日的可配送貨物量低于時(shí)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為

獎(jiǎng)金

50

100

概率

小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數(shù)學(xué)期望的角度分析，小張選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案對(duì)他更有利？

附：若，則，.

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（Ⅰ），使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：．

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【題目】如圖，三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，下列說(shuō)法中

（1）；

（2）記二面角的平面角分別為;

（3）記的面積分別為;

（4）,

正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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【題目】已知斜率存在且不為0的直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為.

（1）若的面積為，求直線的方程；

（2）若直線分別交直線于點(diǎn)，且，記直線的斜率分別為.探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】為配合“2019雙十二”促銷活動(dòng)，某公司的四個(gè)商品派送點(diǎn)如圖環(huán)形分布，并且公司給四個(gè)派送點(diǎn)準(zhǔn)備某種商品各50個(gè).根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，需要將發(fā)送給四個(gè)派送點(diǎn)的商品數(shù)調(diào)整為40，45，54，61，但調(diào)整只能在相鄰派送點(diǎn)進(jìn)行，每次調(diào)動(dòng)可以調(diào)整1件商品.為完成調(diào)整，則（ ）

A.最少需要16次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案

B.最少需要15次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案

C.最少需要16次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案

D.最少需要15次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案

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【題目】已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG與平面所成銳二面角的大小；

（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．

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