【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）若，，且對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，，且在單調遞增，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化簡,將不等式化簡為關于的二次函數(shù)形式,結合即可求得的取值范圍.

（2）解法1:根據(jù)條件可求得函數(shù)的對稱軸,且由可得的表達式.再根據(jù)在單調遞增,可得關于的不等式組,解不等式組即可求得的最大值.

解法2:根據(jù)在單調遞增可先求得的取值范圍,結合可得函數(shù)的對稱軸, 且由可得的表達式.根據(jù)可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.進而求得滿足在單調遞增時的最大值.

（1）∵,

∴

∴,即

∵

∴

∴當時,

∴

（2）解法1：∵

∴為圖像的對稱軸

又

∴

兩式相減得

∴

∵在單調遞增,令

∴在單調遞增

∴,則,

①+②得

∴

∵

∴當時取到最大值為

解法2：在單調遞增

∴

∴

∵

∴為圖像的對稱軸

又

∴

兩式相加得

∵

∴或

①當時,,得,

②當時,得,

當,時

時,

則滿足條件在單調遞增,所以的最大值為.

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