Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝logax，g（x）＝m2x2﹣2mx+1，若b＞a＞1，且f（b），ab＝ba．

（1）求a與b的值；

（2）當(dāng)x∈[0，1]時，函數(shù)g（x）的圖象與h（x）＝f（x+1）+m的圖象僅有一個交點(diǎn)，求正實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝4．（2）（0，1]∪[3，+∞）．

【解析】

（1）利用以及列方程組，由此求解出的值.

（2）首先求得、的單調(diào)區(qū)間，將分成兩種情況，結(jié)合與圖象僅有一個交點(diǎn)進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）f（x）＝logax，（a＞1），

若b＞a，且，

可得或，

因為b＞a＞1，所以logab＞1，

所以logab＝2，即a2＝b，

因為ab＝ba

所以，

所以a2＝2a，

解之得a＝2，b＝4．

（2）因為m為正數(shù)，g（x）＝m2x2﹣2mx+1＝（mx﹣1）2為二次函數(shù)，

在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，

函數(shù)y＝log2（x+1）+m 為上的增函數(shù)，

分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜m≤1 時，，在區(qū)間[0，1]上，y＝（mx﹣1）2為減函數(shù)，值域為[（m﹣1）2，1]，

函數(shù)y＝log2（x+1）+m 為增函數(shù)，值域為[m，m+1]，此時兩個函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)，符合題意；

②當(dāng)m＞1，得，在區(qū)間 上，y＝（mx﹣1）2為減函數(shù)，在區(qū)間 為增函數(shù)，

函數(shù)y＝log2（x+1）+m 為增函數(shù)，值域為[m，m+1]，

若兩個函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)，則有（m﹣1）2≥m+1，解之得m≤0 或m≥3，

因為m為正數(shù)，則m≥3；

綜上m的取值范圍為（0，1]∪[3，+∞）．