Question

【題目】已知四棱錐的底面為正方形，且該四棱錐的每條棱長均為，設(shè)BC，CD的中點分別為E，F，點G在線段PA上，如圖.

（1）證明：；

（2）當(dāng)平面PEF時，求直線GC和平面PEF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，由正棱錐的性質(zhì)可知PO⊥平面ABCD，得到PO⊥EF，再由ABCD是正方形結(jié)合EF為△BCD的中位線，可得EF⊥AC，得到EF⊥平面PAC，進一步得到EF⊥GC；

（2）分別以PB，OC，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出A，P，E，F的坐標(biāo)，設(shè)，且，其中，求得，設(shè)平面PEF的一個法向量為，求得，結(jié)合BG∥平面PEF，利用數(shù)量積為0求得λ，進一步得到，又，求出直線GC的法向量為．設(shè)GC和平面PEF所成角為，再由求解．

（1）證明：由已知為正四棱錐，設(shè)AC，BD交于點O，

由正棱錐的性質(zhì)可知平面ABCD，所以，

由于正方形ABCD滿足，EF為的中位線，故，所以，

所以平面PAC，而平面PAC，所以.

（2）分別以OB，OC，OP為坐標(biāo)軸建立如圖坐標(biāo)系，

此時，，，.

設(shè)，且，其中，

即，

設(shè)平面PEF的法向量為，

由于，，

由解得，

由平面PEF知，

解得，此時，由于，故.

所以直線GC的方向向量，

設(shè)GC和平面PEF所成角為，

則.