【題目】已知二次函數(shù)f(x)對任意的x都有f(x+2)﹣f(x)=﹣4x+4,且f(0)=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設函數(shù)g(x)=f(x)+m,(m∈R). ①若存在實數(shù)a,b(a<b),使得g(x)在區(qū)間[a,b]上為單調函數(shù),且g(x)取值范圍也為[a,b],求m的取值范圍;
②若函數(shù)g(x)的零點都是函數(shù)h(x)=f(f(x))+m的零點,求h(x)的所有零點.

【答案】
(1)解:設二次函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=ax2+bx+c,

則f(x+2)﹣f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c﹣(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b

由f(x+2)﹣f(x)=﹣4x+4得(4a+4)x+4a+2b﹣4=0恒成立,又f(0)=0

所以 ,所以 ,所以f(x)=﹣x2+4x


(2)解:g(x)=﹣x2+4x+m,對稱軸x=2,g(x)在區(qū)間[a,b]上單調,所以b≤2或a≥2

①1°當b≤2時,g(x)在區(qū)間[a,b]上單調增,所以 ,即a,b為g(x)=x的兩個根,

所以只要g(x)=x有小于等于2兩個不相等的實根即可,

所以x2﹣3x﹣m=0要滿足 ,得

2°當a≥2時,g(x)在區(qū)間[a,b]上單調減,所以 ,即

兩式相減得(b﹣a)(a+b﹣5)=0,因為b>a,所以a+b﹣5=0,

所以m=a2﹣5a+5, ,得

綜上,m的取值范圍為

②(法一)設x0為g(x)的零點,則 ,即

即﹣m2﹣4m+m=0,得m=0或m=﹣3

1°當m=0時,h(x)=﹣(﹣x2+4x)2+4(﹣x2+4x)=﹣x(x﹣4)(x2﹣4x+4)

所以h(x)所有零點為0,2,4

2°當m=﹣3時,h(x)=﹣(﹣x2+4x)2+4(﹣x2+4x)﹣3=﹣(﹣x2+4x﹣3)(﹣x2+4x﹣1)

(因為必有因式﹣x2+4x﹣3,所以容易分解因式)

由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得

所以h(x)所有零點為

(法二)函數(shù)g(x)的零點都是函數(shù)h(x)的零點,

所以﹣(﹣x2+4x)2+4(﹣x2+4x)+m中必有因式﹣x2+4x+m,

所以可設:﹣(﹣x2+4x)2+4(﹣x2+4x)+m=﹣(﹣x2+4x+m)(﹣x2+sx+t)

展開對應系數(shù)相等得 (下同法一).


【解析】(1)設二次函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=ax2+bx+c,利用待定系數(shù)法求解即可.(2)g(x)=﹣x2+4x+m,對稱軸x=2,g(x)在區(qū)間[a,b]上單調,b≤2或a≥2,①1°當b≤2時,2°當a≥2時,列出不等式組,求解m的取值范圍為 ;②(法一)設x0為g(x)的零點,則 ,求出m=0或m=﹣3,1°當m=0時,求出h(x)所有零點為0,2,4;2°當m=﹣3時,求出h(x)所有零點為

(法二)函數(shù)g(x)的零點都是函數(shù)h(x)的零點,﹣(﹣x2+4x)2+4(﹣x2+4x)+m=﹣(﹣x2+4x+m)(﹣x2+sx+t),展開對應系數(shù)相等求解即可.

【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小).

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C.[ , ]
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