Question

【題目】如圖，正方形ABCD中邊長為1，P、Q分別為BC、CD上的點，△CPQ周長為2．
（1）求PQ的最小值；
（2）試探究求∠PAQ是否為定值，若是給出證明；不是說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設∠CPQ=θ，則CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ

（ ）

∴

∴

（2）解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，

設Q（x，1），P（1，y），設∠DAQ=α，∠PAB=β

∴ ，即xy+（x+y）=1

又tanα=x，tanβ=y

∴ ，

∴

∴

【解析】（1）根據(jù)△CPQ周長為2，并且△CPQ是直角三角形，設∠CPQ=θ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出 ，求該函數(shù)的最小值即可；（2）利用解析法求解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設Q（x，1），P（1，y），利用兩點間距離公式求出PQ，根據(jù)△CPQ周長為2，找出x，y的關(guān)系，求出∠PAQ的正切值，即可求得結(jié)果．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和兩角和與差的正切公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；兩角和與差的正切公式：．