Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中， 為正方形， 為菱形， .

（1）求證：平面⊥平面；

（2）若是中點，∠是二面角的平面角，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（）連接BC1，可得B1C⊥面ABC1．B1C⊥AB，由AB⊥BB1，得AB⊥面BB1C1C．可得平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）由∠ADB是二面角A-CC1-B的平面角，得△C1BC為等邊三角形．分別以BA，BB1，BD為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
不妨設(shè)AB=2，則A（2，0，0），C1(0，1， )，C(0，1，)，利用向量法求解．

試題解析：（1）證明：連接BC1，因為BB1C1C為菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，

所以B1C⊥面ABC1.故B1C⊥AB.

因為AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C.

而AB平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（2）因為∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，

所以BD⊥CC1，又D是CC1中點，

所以BD=BC1，所以△C1BC為等邊三角形.

如圖所示，分別以BA，BB1，BD為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

不妨設(shè)AB=2，則A（2，0，0），C1(0，1， )，C(0，1，)，則）.

設(shè)是平面ABC的一個法向量，則，即，

取z=1得.

所以

所以直線AC1與平面ABC所成的正弦值為.