Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 對(duì)任意的n∈N* ， 點(diǎn)（n，Sn）恒在函數(shù)y= x的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn= ，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)Kn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，其中bn=2an ， 問是否存在正整數(shù)n，t，使 成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知，得

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1= =3n

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3．∴an=3n

（2）

解： ．

當(dāng)n=1時(shí)，Tn+1＞Tn，即T2＞T1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn+1=Tn，即T3=T2；

當(dāng)n≥3時(shí)，Tn+1＜Tn，即Tn＜Tn﹣1＜…＜T4＜T3

∴{Tn}中的最大值為 ，

要使Tn≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需 ∴

解法二：

當(dāng)n=1，2時(shí)，Tn+1≥Tn；當(dāng)n≥3時(shí)，n+2＜2nTn+1＜Tn

∴n=1時(shí)，T1=9；n=2，3時(shí)， n≥4時(shí)，Tn＜T3

∴{Tn}中的最大值為 ，

要使Tn≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需 ∴

（3）

解：

將Kn代入 ，化簡(jiǎn)得， （﹡）

若t=1時(shí)， ，顯然n=1時(shí)成立；

若t＞1時(shí)， （﹡）式化簡(jiǎn)為 不可能成立

綜上，存在正整數(shù)n=1，t=1使 成立

【解析】（1）利用an=Sn﹣Sn﹣1求解；（2）要使Tn≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需m≥{Tn}中的最大值即可；（3）求解有關(guān)正整數(shù)n的不等式．