(本小題滿分13分)
已知拋物線

:

的焦點(diǎn)為


,過點(diǎn)

作直線

交拋物線

于

、

兩點(diǎn);橢圓

的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在

軸上,點(diǎn)

是它的一個頂點(diǎn),且其離心率

.
(1)求橢圓

的方程;
(2)經(jīng)過

、

兩點(diǎn)分別作拋物線

的切線

、

,切線

與

相交于點(diǎn)

.證明:

;
(3)橢圓

上是否存在一點(diǎn)

,經(jīng)過點(diǎn)

作拋物線

的兩條切線

、

(

、

為切點(diǎn)),使得直線

過點(diǎn)

?若存在,求出拋物線

與切線

、

所圍成圖形的面積;若不存在,試說明理由.
(1)

(2)略
(3)橢圓

上存在一點(diǎn)

,經(jīng)過點(diǎn)

作拋物線

的兩條切線

、

(

、

為切點(diǎn)),能使直線

過點(diǎn)

.
此時,兩切線的方程分別為

和

. …………11分
拋物線

與切線

、

所圍成圖形的面積為

解:(1)設(shè)橢圓

的方程為

,半焦距為

.
由已知條件,得

,
∴

解得

.
所以橢圓

的方程為:

. …………

分
(2)顯然直線

的斜率存在,否則直線

與拋物線

只有一個交點(diǎn),不合題意,
故可設(shè)直線

的方程為

,

,
由
消去

并整理得

,
∴

. …………

分
∵拋物線

的方程為

,求導(dǎo)得

,
∴過拋物線

上

、

兩點(diǎn)的切線方程分別是

,

,
即

,

,
解得兩條切線

、

的交點(diǎn)

的坐標(biāo)為

,即

,……

分
∴




∴

.

…………8分
(3)假設(shè)存在點(diǎn)

滿足題意,由(2)知點(diǎn)

必在直線

上,又直線

與橢圓

有唯一交點(diǎn),故

的坐標(biāo)為

,
設(shè)過點(diǎn)

且與拋物線

相切的切線方程為:

,其中點(diǎn)

為切點(diǎn).
令

得,

,
解得

或

, ………

…10分
故不妨取

,即直線

過點(diǎn)

.
綜上所述,橢圓

上存在一點(diǎn)

,經(jīng)過點(diǎn)

作拋物線

的兩條切線

、

(

、

為切點(diǎn)),能使直線

過點(diǎn)

.
此時,兩切線的方程分別為

和

. …………11分
拋物線

與切線

、

所圍成圖形的面積為

. …………13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
直線

的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線

C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知點(diǎn)

是拋物線

上的動點(diǎn),點(diǎn)

在

軸上的射影是

,點(diǎn)

,則

的最小值是( )
A.5 | B. | C.4 | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
拋物線

的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_

___________________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知矩形的兩個頂點(diǎn)位于
x軸上,另兩個頂點(diǎn)位于拋物線

在
x軸上方的曲線上,則這種矩形中面積最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線

,過定點(diǎn)

作兩條互相垂直的直線

,若

與拋物線交于點(diǎn)

,

與拋物線交于

點(diǎn),

的斜率為

.某同學(xué)已正確求得弦

的中點(diǎn)坐標(biāo)為

,請寫出弦

的中點(diǎn)坐標(biāo)
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)拋物線

上

一點(diǎn)P到直線

的距離是5,則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)

和

是拋物線

上的兩個動點(diǎn),且在

和

處的拋物線切線相互垂直,已知由

及拋物線

的頂點(diǎn)所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線,記為

.對

重復(fù)以上過程,又得一拋物線

,余類推.設(shè)如此得到拋物線的序列為

,

,

,若拋物線

的方程為

,經(jīng)專家計算得,

,

,

,

,

.
則

.:Z_x
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
拋物線

與圓

相交于第一象限的P點(diǎn),且在P點(diǎn)處兩曲線的切線互相垂直,則

.
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