Question

某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y萬元與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈N^*）的關(guān)系為y=-x²+18x-36．
（1）每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年，可使其營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)最大？
（2）每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年，可使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）先利用配方法將原函數(shù)式進(jìn)行了配方，再利用完全平方式恒不小于0，即可求得二次函數(shù)的最值，從而求得每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年時(shí)，可使其營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)最大．
（2）欲使?fàn)I運(yùn)年平均利潤(rùn)最大，即求

y

x

的最大值，故先表示出此式，再結(jié)合基本不等式即可求其最大值．

解答：解：（1）每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)為y=-x²+18x-36=-（x-9）²+45，
故x=9時(shí)，y取最大值45．
即營(yíng)運(yùn)9年可使其營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)最大．
（2）每輛客車營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)為

y

x

=

-x2+18x-36

x

=18-(x+

36

x

)≤18-2

x• 36 x

=18-12=6.
當(dāng)且僅當(dāng)x=

36

x

時(shí)等號(hào)成立．解得x=6．
即每輛客車營(yíng)運(yùn)6年，可使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．