Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，AC∩BD=H．沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）當PB取得最小值時，請解答以下問題：（提示：設OH=x）
（�。┣笏睦忮FP-BDEF的體積；
（ⅱ）若點Q在線段AP上，試探究：直線OQ與平面E所成角是否一定大于或等于45°？并說明你的理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO，證明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用線面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系O-xyz．（ⅰ）設AO∩BD=H，PO=x，則

PB

=（2

3

-x，2，-x），從而確定PB的最小值，進而可得四棱錐P-BDEF的體積；
（ⅱ）確定

OQ

的坐標，求出平面PBD的法向量

n

=（1，0，1），利用向量的夾角公式可求直線OQ與平面PBD所成的角，從而可得結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，…（1分）
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，
且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，…（2分）
∵BD?平面ABFED，
∴PO⊥BD．…（3分）
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）解：如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．（5分）
（ⅰ）設AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2

3

．
又設PO=x，則OH=2

3

-x，OA=4

3

-x．
O（0，0，0），P（0，0，x），B（2

3

-x，2，0），
故

PB

=（2

3

-x，2，-x），（6分）
∴|

PB

|=

2(x- 3 )2+10

，
∴當x=

3

時，|PB|_min=

10

．
此時PO=

3

，OH=

3

（7分）
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，
∴V=

1

3

（

3

4

×42-

3

4

×22）×

3

=3．（8分）
（ⅱ）設點Q的坐標為（a，0，c），由（i）知，OP=

3

，則A（3

3

，0，0），B（

3

，2，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，

3

）．
∴

AQ

=（a-3

3

，0，c），

QP

=（-a，0，

3

-c），（9分）
設

AQ

=λ

QP

（λ＞0），
則Q（

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

），
∴

OQ

=（

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

），（10分）
設平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z），則

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，
取x=1，解得：y=0，z=1，
∴

n

=（1，0，1）．（11分）
設直線OQ與平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

1

2

×

1+ 6λ 9+λ2

．（12分）
又∵λ＞0∴sinθ＞

2

2

．（13分）
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ＞

π

4

．
因此直線OQ與平面PBD所成角大于

π

4

，即結(jié)論成立． （14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵．