Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+2（a∈R），在x=

1

2

時取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若F（x）=λx²-3x+2-f（x）（λ＞0）有唯一零點，求λ的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用在x=

1

2

時取得極值，可得f′（

1

2

）=2+a=0，即可求a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx-2x+2則F（x）=λx²-lnx-x，則F′（x）=

2λx2-x-1

x

．令F'（x）=0，2λx²-x-1=0．由此進行分類討論，能求出λ．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f′（x）=

1

x

+a．
因為在x=

1

2

時取得極值，所以f′（

1

2

）=2+a=0，則a=-2…（2分）
經(jīng)檢驗，a=-2滿足題意．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx-2x+2則F（x）=λx²-lnx-x，
則F′（x）=

2λx2-x-1

x

．
令F'（x）=0，2λx²-x-1=0．
因為λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有兩異號根設為x₁＜0，x₂＞0．
因為x＞0，所以x₁應舍去．
當x∈（0，x₂）時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當x∈（x₂，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當x=x₂時，F(xiàn)'（x₂）=0，F(xiàn)（x）取最小值F（x₂）．…（9分）
因為F（x）=0有唯一解，所以F（x₂）=0，
則

λx22-lnx2-x2=0 2λx22-x2-1=0

因為λ＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因為當x＞0時，
h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，
代入方程組解得λ=1．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．