Question

已知函數(shù)f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ（0＜θ＜π），且當(dāng)x=

π

3

時f（x）取得最大值．
（1）求θ的值；
（2）當(dāng)x∈[

π

6

，a]時f（x）的值域為[

1

4

，

1

2

]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)公式可得f（x）=

1

2

cos（2x-θ），由最值可得2×

π

3

-θ=2kπ，k∈Z，結(jié)合θ范圍可得；
（2）由題意結(jié)合三角函數(shù)的值域可得2a-

2π

3

∈[0，

π

3

]，變形可得a的范圍．

解答： 解（1）由題意可得f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ
=cos2xcosθ+sinxcosxsinθ-

1

2

cosθ
=

1+cos2x

2

cosθ+

1

2

sin2xsinθ-

1

2

cosθ
=

1

2

cos（2x-θ）
又∵當(dāng)x=

π

3

時f（x）取得最大值，
∴2×

π

3

-θ=2kπ，k∈Z
又∵0＜θ＜π，∴θ=

2π

3

；
（2）∵x∈[

π

6

，a]，∴2x-

2π

3

∈[-

π

3

，2a-

2π

3

]，
又∵f（x）的值域為[

1

4

，

1

2

]，
∴2a-

2π

3

∈[0，

π

3

]，∴a∈[

π

3

，

π

2

]

點評：本題考查三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題．