Question

如圖，四棱錐E-ABCD，底面ABCD是矩形，平面EDC⊥底面ABCD，ED=EC=BC=4，CF⊥平面BDE，且點(diǎn)F在EB上．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱錐A-BDE的體積；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段DC上，且滿足DM=2CM，試在線段EB上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面ADE．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明DE⊥平面BCE，只需證明DE⊥BC，ED⊥CF；
（Ⅱ）過點(diǎn)E作EH⊥DC，利用V_A-BDE=V_E-ABD，即可求三棱錐A-BDE的體積；
（Ⅲ）過M作MG∥DE交CE于G，過G作GN∥BC交EB于N，連接MN，證明MN∥平面ADE，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD是矩形，
∴BC⊥DC，
∵平面EDC⊥底面ABCD，平面EDC∩底面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面EDC，
∴DE⊥BC，
∵CF⊥平面BDE，
∴ED⊥CF，
∵BC∩CF=C，DE⊥BC，ED⊥CF，
∴DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：過點(diǎn)E作EH⊥DC，
∵平面EDC⊥底面ABCD，平面EDC∩底面ABCD=DC，
∴EH⊥底面ABCD，
∵ED=EC=4，DE⊥CE，
∴DC=4

2

，
∴EH=2

2

，
∴三棱錐A-BDE的體積V_A-BDE=V_E-ABD=

1

3

×

1

2

×4×4

2

×2

2

=

32

3

；
（Ⅲ）過M作MG∥DE交CE于G，過G作GN∥BC交EB于N，連接MN，則
∵GN∥BC，BC∥AD，
∴GN∥AD，
∴MG∥DE，NG∩MG=G，AD∩DE=D，
∴平面MGN∥平面ADE，
∵M(jìn)N?平面MGN，
∴MN∥平面ADE，
∴線段EB上存在點(diǎn)N，當(dāng)BN=

1

3

BE時，使得MN∥平面ADE．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直性質(zhì)的運(yùn)用，考查三棱錐A-BDE的體積，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較綜合．