Question

【題目】若函數(shù)y=lg（3﹣4x+x2）的定義域為M．當x∈M時，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相應的x的值．

Answer 1

【答案】解：y=lg（3﹣4x+x2），
∴3﹣4x+x2＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2 ．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：
當0＜t＜2時，f（t）∈（﹣4， ]，
當t＞8時，f（t）∈（﹣∞，﹣160），
當2x=t= ，即x=log2 時，f（x）max= ．
綜上可知：當x=log2 時，f（x）取到最大值為 ，無最小值
【解析】根據(jù)題意可得M={x|x2﹣4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2x+2﹣3×4x=﹣3（2x）2+42x令t=2x ， 則t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=﹣3t2+4t利用二次函數(shù)在區(qū)間（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
【考點精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．