【題目】已知函數(shù)

I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.

II)求證:當(dāng)時(shí),

III)設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立,求的最大值.

【答案】I;(II見(jiàn)解析;III最大值為.

【解析】試題分析:(I,得,又,可得在處切線方程為

II)令,求導(dǎo)得出的增減性,然后由得證.

III)由(II)可知,當(dāng)時(shí), 對(duì)恒成立. 時(shí),令,求導(dǎo),可得單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),F(xiàn), 即當(dāng)時(shí), ,對(duì)不恒成立,可得k的最大值為2.

試題解析:I

,

,

,

,

∴在處切線方程為

II)證明:令

,

,

,

即在時(shí),

III)由(II)知,在時(shí),

對(duì)恒成立,

當(dāng)時(shí),令,

,

∴當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)在單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), ,

,

∴當(dāng)時(shí), ,

對(duì)不恒成立,

最大值為

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式,恒成立問(wèn)題.要證明一個(gè)不等式,我們可以先根據(jù)題意所給條件化簡(jiǎn)這個(gè)不等式,如第二問(wèn)的不等式,可以轉(zhuǎn)化為,第三問(wèn)的不等式可以轉(zhuǎn)化為,劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進(jìn)而求解得結(jié)果.

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