Question

【題目】已知函數(shù)．

（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（II）求證：當(dāng)時(shí)， ．

（III）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）見解析；（III）最大值為.

【解析】試題分析：（I），得，又，可得在處切線方程為．

（II）令，求導(dǎo)得出的增減性，然后由得證.

（III）由（II）可知，當(dāng)時(shí)， 對(duì)恒成立. 時(shí)，令，求導(dǎo)，可得上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，F(xiàn), 即當(dāng)時(shí)， ，對(duì)不恒成立，可得k的最大值為2.

試題解析：（I）∵，

，

∴，

∴．

∵，

， ，

∴在處切線方程為．

（II）證明：令，

，

，

∴，

∴，

即在時(shí)， ．

（III）由（II）知，在時(shí)，

對(duì)恒成立，

當(dāng)時(shí)，令，

則，

，

∴當(dāng)時(shí)， ，

此時(shí)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，

即，

∴當(dāng)時(shí)， ，

對(duì)不恒成立，

∴最大值為．

點(diǎn)晴：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問題.要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意所給條件化簡(jiǎn)這個(gè)不等式，如第二問的不等式，可以轉(zhuǎn)化為，第三問的不等式可以轉(zhuǎn)化為，劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.