Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a1=2，4Sn=an•an+1，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

1

an2

}與的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

n

4n+4

＜Tn＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式結(jié)合給出的a₁求得a₂，在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到a_n+1-a_n-1=4，然后分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合一起得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n代入

1

an2

，對(duì)

1

4n2

分別縮小和放大證明不等式兩邊．

解答： （Ⅰ）解：∵4Sn=an•an+1，n∈N* ①，
∴4a₁=a₁•a₂，
又a₁=2，
∴a₂=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=a_n-1•a_n ②，
①-②得：4a_n=a_n•a_n+1-a_n-1•a_n，
由題意知a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=4，
當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，a_2k+2-a_2k=4，
即a₂，a₄，…，a_2k是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_2k=4+4（k-1）=4k=2×2k；
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=4，
即a₁，a₃，…，a_2k-1是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2×（2k-1）．
綜上可知，a_n=2n，n∈N^*；
（Ⅱ）證明：∵

1

an2

=

1

4n2

＞

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＞

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4n+4

．
又∵

1

an2

=

1

4n2

＜

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
即得，

n

4n+4

＜Tn＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于（Ⅱ）的證明，關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)列的項(xiàng)的放縮，是中高檔題．