Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，使得f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+4x-a（a∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定義在區(qū)間[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）（文）若f（x）=e^x-ex-2m為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求證：若x＞1，則e^x＞x²-2mx+1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用局部奇函數(shù)的定義，建立方程關(guān)系，然后判斷方程是否有解即可．

解答： 解：f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（x）+f（-x）=0有解．
（1）當(dāng)f（x）=ax²+4x-a（a∈R）時(shí)，
方程f（x）+f（-x）=0即2a（x²-1）=0有解x=±1，所以f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（2）當(dāng)f（x）=2^x+m時(shí)，f（-x）=-f（x）可化為2^x+2^-x+2m=0，
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（5分）
令t=2x∈[

1

2

，2]，則-2m=t+

1

t

．
設(shè)g（t）=t+

1

t

，則g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)．       …（7分）
所以t∈[

1

2

，2]時(shí)，g（t）∈[2，

5

2

]．
所以-2m∈[2，

5

2

]，即m∈[-

5

4

，-1]．                          …（9分）
（文）f（x）=e^x-ex-2m為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，
f（x）+f（-x）=0可化為m=

ex+e-x

4

≥

2 exe-x

4

=

1

2

（x=0時(shí)等號(hào)成立），即m≥

1

2

．
設(shè)g（x）=e^x-x²+2mx-1（x＞1），由g'（x）=e^x-2x+2m≥e^x-2x+1，
顯然，由圖象知，x＞1時(shí)e^x-2x+1＞0成立，所以g'（x）≥e^x-2x+1＞0，
函數(shù)g（x）=e^x-x²+2mx-1在（1，+∞）上遞增，則g(x)＞g(1)=e+2m-2≥e+2×

1

2

-2＞0．
即e^x＞x²-2mx+1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義的應(yīng)用，利用新定義，建立方程關(guān)系，然后利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．