Question

如圖，已知圓E：（x+1）²+y²=16，點F（1，0），P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）點A（-2，0），B（2，0），點G是軌跡Γ上的一個動點，直線AG與直線x=2相交于點D，試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，故Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，從而可求動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切，分類討論，設(shè)直線AG的方程為y=k（x+2）（k≠0），證明圓心H到直線GF的距離d=

1

2

|BD|，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|，
故Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．（2分）
設(shè)其方程為

x2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
可知a=2，c=

a2-b2

=1，則b=

3

，（3分）
所以點Q的軌跡Γ的方程為為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．（5分）
由題意，設(shè)直線AG的方程為y=k（x+2）（k≠0），則點D坐標(biāo)為（2，4k），BD的中點H的坐標(biāo)為（2，2k）．
聯(lián)立方程組

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
設(shè)G（x₀，y₀），則-2x0=

16k2-12

3+4k2

，
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

，（7分）
當(dāng)k=±

1

2

時，點G的坐標(biāo)為(1，±

3

2

)，點D的坐標(biāo)為（2，±2）．
直線GF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線GF相切．（9分）
當(dāng)k≠±

1

2

時，則直線GF的斜率為

12k2 3+4k2

6-8k2 3+4k2 -1

=

4k

1-4k2

，則直線GF方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)，
點H到直線GF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

( 4k 1-4k2 )2+1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|，又|BD|=4|k|，
所以圓心H到直線GF的距離d=

1

2

|BD|，此時，以BD為直徑的圓與直線GF相切．
綜上所述，以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．（13分）

點評：本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．