【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸,焦距為2,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(2,0),過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交E于A、B兩點(diǎn),若對(duì)滿(mǎn)足條件的任意直線(xiàn)l,不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.
【答案】(Ⅰ) +y2=1(Ⅱ)
【解析】試題分析:(1)設(shè)橢圓方程,由a=b,a2=b2+1,即可求得a和b的值,求得橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得,當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,及函數(shù)的最值即可求得的最小值,即可求得λ的最小值.
試題解析:
(Ⅰ)依題意,a=b,c=1,
解得a2=2,b2=1,∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則·=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2,
當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí),x1=x2=-1,y1=-y2且y=,
此時(shí)=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),
所以·=(-3)2-y=;
當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn)l:y=k(x+1),
由整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,
所以·=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)·-(k2-2)·+4+k2
==-<.
要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立,只需λ≥(·)max=,即λ的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的滿(mǎn)足,前項(xiàng)的和為,且.
(1)求的值;
(2)設(shè),證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)設(shè),若,求對(duì)所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面為梯形,,,且.
(Ⅰ)若點(diǎn)為上一點(diǎn)且,證明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中, 為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),則下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 三棱錐的體積與點(diǎn)位置有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn) ,圓: ,過(guò)的動(dòng)直線(xiàn)與⊙交兩點(diǎn),線(xiàn)段中點(diǎn)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)當(dāng)時(shí),求直線(xiàn)的方程以及△面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知且,函數(shù),記.
(1)求函數(shù)的定義域及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn),拋物線(xiàn)在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn).
(Ⅰ)寫(xiě)出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程;
(Ⅱ)求證:點(diǎn)在直線(xiàn)上;
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