Question

【題目】從年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴(yán)重的蝗蟲災(zāi)情.目前，蝗蟲已抵達(dá)烏干達(dá)和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

平均溫度
平均產(chǎn)卵數(shù)個(gè)

表中，.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)蝗蟲會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為.

①記該地今后年中，恰好需要次人工防治的概率為，求取得最大值時(shí)相應(yīng)的概率；

②根據(jù)①中的結(jié)論，當(dāng)取最大值時(shí)，記該地今后年中，需要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.

附：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，.

Answer 1

【答案】（1）更適宜；；（2）①；②，.

【解析】

（1）利用圖象可得出更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸類型，對，兩邊取自然對數(shù)，求出關(guān)于的回歸方程，進(jìn)而可得出關(guān)于的回歸方程；

（2）①對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)取最值時(shí)對應(yīng)的的值；

②由取最大值時(shí)對應(yīng)的的值，得出，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式可得出、的值.

（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸類型，

對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則.

因?yàn)?/span>，，

所以，關(guān)于的回歸方程為，

所以，關(guān)于的回歸方程為；

（2）①由，，

且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，；

②由①可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，

又，則，由題意可知，，.