【題目】如圖,在直三棱柱中,的中點(diǎn),.

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)異面直線所成角的余弦值為,求幾何體的體積.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)2

【解析】

(Ⅰ)連結(jié)于點(diǎn),連結(jié),證出,利用線面平行的判定定理即可證出.

(Ⅱ)根據(jù)題意可求出,在中,利用余弦定理求出,由結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.

(Ⅰ)如圖,連結(jié)于點(diǎn),連結(jié),

因?yàn)樵谥比庵?/span>中,四邊形是矩形,

所以點(diǎn)的中點(diǎn),

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),

所以.

因?yàn)?/span>平面平面,

所以平面.

(Ⅱ)因?yàn)槔庵?/span>是直三棱柱,

所以,

因?yàn)?/span>,,

所以,

因?yàn)楫惷嬷本所成角的余弦值為.

所以,

因?yàn)?/span>,,

所以.

根據(jù)余弦定理,在中,,

可得,

因?yàn)?/span>,所以由勾股定理可得,

因?yàn)?/span>,,,

所以平面

同理平面,

所以

.

所以幾何體的體積為2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎方案.

方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.

方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.

(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機(jī)會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;

(2)若某顧客獲得抽獎機(jī)會.

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;

②為了吸引顧客消費(fèi),讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)若點(diǎn)在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;

(2)已知,若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在曲線上,且的最小值為,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了20171月至201912月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是( )

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8

C.20171月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中;

l)判斷函數(shù)是否存在極值,若存在,請判斷是極大值還是極小值;若不存在,說明理由;

2)討論在上函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)、是拋物線上的兩個不同的點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),若直線的斜率之積為,則下列結(jié)論正確的是(

A.

B.為直徑的圓面積的最小值為

C.直線過拋物線的焦點(diǎn)

D.點(diǎn)到直線的距離不大于

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度(每層玻璃的厚度相同)及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響,利用熱傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量滿足關(guān)系式,其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/(厘米·度),為室內(nèi)外溫度差,值越小,保溫效果越好,現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶,具體數(shù)據(jù)如下表:

型號

每層玻璃厚度(單位:厘米)

玻璃間夾空氣層厚度(單位:厘米)

0.4

3

0.3

4

0.5

3

0.4

4

則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是(

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1DAD1交于點(diǎn)E,AA1AD2AB4.

1)證明:AE⊥平面ECD;

2)求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】年底開始,非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴(yán)重的蝗蟲災(zāi)情.目前,蝗蟲已抵達(dá)烏干達(dá)和坦桑尼亞,并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延.蝗蟲危害大,主要危害禾本科植物,能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害,每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù),得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

平均溫度

平均產(chǎn)卵數(shù)

表中.

1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,(其中為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸方程.(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位)

2)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì),該地每年平均溫度達(dá)到以上時蝗蟲會造成嚴(yán)重傷害,需要人工防治,其他情況均不需要人工防治,記該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為.

①記該地今后年中,恰好需要次人工防治的概率為,求取得最大值時相應(yīng)的概率;

②根據(jù)①中的結(jié)論,當(dāng)取最大值時,記該地今后年中,需要人工防治的次數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.

附:對于一組數(shù)據(jù)、、,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為:,.

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