Question

已知橢圓C的方程為

x2

4m2

+

y2

m2

=1（m＞0），如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（2，0），B（0，1），C（2，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C與△ABC無公共點，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓C與△ABC相交于不同的兩點，分別為M、N，求△OMN面積S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓方程可得，a²=4m²，b²=m²，求出c，可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）當橢圓C在直線AB的左下方或△ABC在橢圓內(nèi)時，兩者便無公共點，分類討論，即可求出m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當

2

2

＜m＜

2

時，橢圓C與△ABC相交于不同的兩個點M﹑N，分類討論，表示出△OMN面積S，即可求出最大值．

解答： 解 （Ⅰ） 由已知可得，a²=4m²，b²=m²，
∴e=

c

a

=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

3m2 4m2

=

3

2

，
即橢圓C的離心率為

3

2

…（4分）
（Ⅱ） 由圖可知當橢圓C在直線AB的左下方或△ABC在橢圓內(nèi)時，兩者便無公共點（5分）
①當橢圓C在直線AB的左下方時，將AB：x+2y-2=0即x=2-2y代入方程

x2

4m2

+

y2

m2

=1
整理得8y²-8y+4-4m²=0，
由△＜0即64-32（4-4m²）=0＜0，解得0＜m＜

2

2

；
∴由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當0＜m＜

2

2

時，橢圓C在直線AB的左下方…（7分）
②當△ABC在橢圓內(nèi)時，當且僅當點C（2，1）在橢圓內(nèi)，
∴可得

4

4m2

+

1

m2

＜1，
又∵m＞0，∴m＞

2

，
綜上所述，當0＜m＜

2

2

或m＞

2

時，橢圓C與△ABC無公共點…（9分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知當

2

2

＜m＜

2

時，橢圓C與△ABC相交于不同的兩個點M﹑N（10分）
又∵當m=1時，橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，此時橢圓恰好過點A，B；
∴①當

2

2

＜m≤1時，M﹑N在線段AB上，顯然的，此時S≤S_△OAB=1，
當且僅當M﹑N分別與A﹑B重合時等號成立，…（11分）
②當1＜m＜

2

時，點M﹑N分別在線段BC，AC上，得M(2

m2-1

，1)，N(2，

m2-1

)，
∴S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC…（12分）
=2-2

m2-1

-(1-

m2-1

)2，
令t=

m2-1

，則0＜t＜1
∴S=-t²+1＜1．
綜上可得面積S的最大值為1．…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程一性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．