【題目】現(xiàn)定義:設(shè)是非零實(shí)常數(shù),若對(duì)于任意的,都有,則稱(chēng)函數(shù)為“關(guān)于的偶型函數(shù)”
(1)請(qǐng)以三角函數(shù)為例,寫(xiě)出一個(gè)“關(guān)于2的偶型函數(shù)”的解析式,并給予證明
(2)設(shè)定義域?yàn)榈摹瓣P(guān)于的偶型函數(shù)”在區(qū)間上單調(diào)遞增,求證在區(qū)間上單調(diào)遞減
(3)設(shè)定義域?yàn)?/span>的“關(guān)于的偶型函數(shù)”是奇函數(shù),若,請(qǐng)猜測(cè)的值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論
【答案】(1),答案不唯一(2)證明見(jiàn)解析(3),證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)令,由于,則可證明;
(2)根據(jù)題意可知,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明;
(3)由題得,可得結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法得到,即可得證.
(1),
∴為“關(guān)于2的偶型函數(shù)”.
(2).
任取則,因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減
(3)猜測(cè)數(shù)學(xué)歸納法證明:
1.當(dāng)時(shí)因?yàn)?/span>是奇函數(shù),所以得證
2.假設(shè)當(dāng),成立,
因?yàn)?/span>,
又∵奇函數(shù),∴,
∴當(dāng)時(shí),,所以得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)到直線的距離為1.
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
若P為橢圓上的一點(diǎn)點(diǎn)P不在y軸上,過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線交直線于點(diǎn)Q,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且.
(1)求A;
(2)若,求△ABC的面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某生態(tài)農(nóng)莊有一塊如圖所示的空地,其中半圓O的直徑為300米,A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn),米,B為半圓上任意一點(diǎn),以AB為一邊作等腰直角,其中BC為斜邊.
若;,求四邊形OACB的面積;
現(xiàn)決定對(duì)四邊形OACB區(qū)域地塊進(jìn)行開(kāi)發(fā),將區(qū)域開(kāi)發(fā)成垂釣中心,預(yù)計(jì)每平方米獲利10元,將區(qū)域開(kāi)發(fā)成親子采摘中心,預(yù)計(jì)每平方米獲利20元,則當(dāng)為多大時(shí),垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)已知是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),有.若,且,求函數(shù)的反函數(shù);
(3)若在上存在個(gè)不同的點(diǎn),,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,,四邊形為矩形,且平面,.
(1)求證:平面;
(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí),平面與平面所成銳二面角最大,并求此時(shí)二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線:和曲線:,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)是曲線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作線段的垂線交曲線于點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)思提出后,某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的機(jī)遇,決定開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備.生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬(wàn)元,每生產(chǎn)x臺(tái),需另投入成本萬(wàn)元,當(dāng)年產(chǎn)量不足60臺(tái)時(shí),萬(wàn)元;當(dāng)年產(chǎn)量不小于60臺(tái)時(shí),萬(wàn)元若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)為100萬(wàn)元,通過(guò)市場(chǎng)分析,該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.
求年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí),該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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