Question

【題目】已知函數.

（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）當時，若實數滿足，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由在上恒成立可得，即，為此只要求得的最小值即可；

（2）由（1）在上單調遞增，又，這樣滿足的必滿足，因此只要證明，也即只要證，只要證，即，為此考慮函數在上的性質即可。注意，因此只要證時，，這又可利用導數研究函數的性質得到證明。

（1），

由在上單調遞增，

故當時，恒成立，

即恒成立.

設，，

因為，所以，

所以，即.

故在上單調遞增，

故，故；

（2）當時，，

，

故在上單調遞增，

又因為，且，

故.

要證，只需證，

因為在上單調遞增，

故只需證，

即只需證，

即只需證.

令，

，

令，

則，

所以在上單調遞增，

所以，

故在上單調遞減，

故，

故原不等式成立.