【題目】已知橢圓為其左右焦點(diǎn),為其上下頂點(diǎn),四邊形的面積為.點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),以為圓心的圓(記為圓)總經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的長軸的最小值,并確定此時(shí)橢圓的方程;
(2)對(duì)于(1)中確定的橢圓,若給定圓,則圓和圓的公共弦的長是否為定值?如果是,求的值;如果不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)長軸的最小值為,此時(shí)橢圓的方程為;(2)2.
【解析】
(1)利用四邊形的面積求得,利用基本不等式求得的最小值,同時(shí)求得橢圓的方程.(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,得到點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系式.求得圓的方程和圓的方程,兩者作差求得公共弦所在直線方程,求得圓心到公共弦的距離,由此求得弦長為定值.
解:(1)依題意四邊形的面積為
因?yàn)殚L軸當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”
此時(shí)
故長軸的最小值為,此時(shí)橢圓的方程為
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),則.
圓的方程為: ,
圓的方程為: ,
兩式作差得公共弦方程為:,
所以弦心距
則弦長,所以圓和動(dòng)圓的公共弦長為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若對(duì)于,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)為的內(nèi)心,三邊長,點(diǎn)在邊上,且,若直線交直線于點(diǎn),則線段的長為______.
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)已知函數(shù),且,若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)且)
(1)若函數(shù)為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并說明理由.
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【題目】鄭汴一體化是依托鄭州省會(huì)城市資源優(yōu)勢(shì)發(fā)展開封的省級(jí)戰(zhàn)略,實(shí)施至今,取得了一系列的成就:兩城電信同價(jià),金融同城,鄭開大道全線貫通,城際列車實(shí)常態(tài)化運(yùn)營.隨著鄭汴一體化的深入推進(jìn),很多人認(rèn)為鄭州開封未來有望合并.為了解市民對(duì)鄭汴合并的態(tài)度,現(xiàn)隨機(jī)抽查55人,結(jié)果按年齡分類統(tǒng)計(jì)形成如下表格:
支持 | 反對(duì) | 合計(jì) | |
不足35歲 | 20 | ||
35歲以上 | 30 | ||
合計(jì) | 25 | 55 |
(1)請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為市民對(duì)鄭汴合并的態(tài)度與年齡有關(guān)?
(2)在上述樣木中用分層抽樣的方法,從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查,從這6人中任選2人,求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.814 | 5.024 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】浦東一模之后的“大將” 洗心革面,再也沒進(jìn)過網(wǎng)吧,開始發(fā)奮學(xué)習(xí). 2019年春節(jié)檔非常熱門的電影《流浪地球》引發(fā)了他的思考:假定地球(設(shè)為質(zhì)點(diǎn),地球半徑忽略不計(jì))借助原子發(fā)動(dòng)機(jī)開始流浪的軌道是以木星(看作球體,其半徑約為萬米)的中心為右焦點(diǎn)的橢圓. 已知地球的近木星點(diǎn)(軌道上離木星表面最近的點(diǎn))到木星表面的距離為萬米,遠(yuǎn)木星點(diǎn)(軌道上離木星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))到木星表面的距離為萬米.
(1)求如圖給定的坐標(biāo)系下橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若地球在流浪的過程中,由第一次逆時(shí)針流浪到與軌道中心的距離為萬米時(shí)(其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長),由于木星引力,部分原子發(fā)動(dòng)機(jī)突然失去了動(dòng)力,此時(shí)地球向著木星方向開始變軌(如圖所示),假定地球變軌后的軌道為一條直線,稱該直線的斜率為“變軌系數(shù)”. 求“變軌系數(shù)”的取值范圍,使地球與木星不會(huì)發(fā)生碰撞. (精確到小數(shù)點(diǎn)后一位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,橢圓離心率為,、是橢圓C的短軸端點(diǎn),且到焦點(diǎn)的距離為,點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)M不與、重合,點(diǎn)N滿足.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,其焦距為,點(diǎn)在橢圓上,,直線的斜率為(為半焦距)·
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:;
(3)在(2)的條件下,求的最大值
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