Question

【題目】如圖正方體的棱長為，、、，分別為、、的中點(diǎn).則下列命題：①直線與平面平行；②直線與直線垂直；③平面截正方體所得的截面面積為；④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等；⑤平面截正方體所得兩個(gè)幾何體的體積比為.其中正確命題的序號(hào)為_______.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

連結(jié),由、分別為、的中點(diǎn),則∥,所以四點(diǎn)共面,截面圖形為等腰梯形，然后對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行逐一判斷.

連結(jié),由、分別為、的中點(diǎn).

則∥,又∥，所以∥且=.

所以截面四邊形形為等腰梯形.

對(duì)①, 、，分別為、的中點(diǎn),

所以∥,且=，則四邊形為平行四邊形,

所以∥,所以∥平面，故①正確.

對(duì)②, ∥,在中，,

顯然與不垂直，則直線與直線不垂直，故②不正確.

對(duì)③, 平面截正方體所得的截面為四邊形,

又四邊形為等腰梯形,其中,,

梯形的高為,

則其面積為.故③正確.

對(duì)④，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以到面的距離相等.

、分別為、的中點(diǎn),延長交的延長線于點(diǎn),

即直線交平面于點(diǎn),則為的中點(diǎn),如圖,

分別過作平面的垂線，垂足分為，

所以分別為點(diǎn)到面的距離,則三點(diǎn)共線，

根據(jù)三角形的相似可得:,所以到面的距離不相等，

則點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離不相等,故④不正確.

對(duì)⑤, 由條件可知多面體為棱臺(tái)，

其體積為,

平面截正方體所得兩個(gè)幾何體的體積比為,故⑤正確.

故答案為：①③⑤.