【題目】已知幾何體P﹣ABCD如圖,面ABCD為矩形,面ABCD⊥面PAB,且面PAB為正三角形,若AB=2,AD=1,E、F分別為AC、BP中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:EF∥面PCD;
(Ⅱ)求直線BP與面PAC所成角的正弦值.

【答案】證明:(Ⅰ)連結(jié)BD,
∵四邊形ABCD是矩形,E是AC的中點(diǎn),
∴E是BD的中點(diǎn).又F是BP的中點(diǎn),
∴EF∥PD,又EF平面PCD,PD平面PBD,
∴EF∥平面PCD.
(Ⅱ)取AP的中點(diǎn)H,連結(jié)HB,HC,過(guò)B作BO⊥HC于O,連結(jié)OP.
∵面ABCD⊥面PAB,面ABCD∩面PAB=AB,BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,∵AP平面PAB,
∴BC⊥AP,
∵△PAB是等邊三角形,∴AP⊥HB,
又BC平面BCH,BH平面BCH,BC∩BH=B,
∴AP⊥平面BCH,又OB平面BCH,
∴AP⊥OB,又OB⊥CH,CH平面PAC,AP平面PAC,CH∩AP=H,
∴OB⊥平面PAC.
∴∠BPO為PB與平面PAC所成的角.
∵AB=2,BC=1,∴BH= ,CH= =2,
∴BO= = ,
∴sin∠BPO= =
即直線BP與面PAC所成角的正弦值為

【解析】(Ⅰ)連結(jié)BD,則E為BD的中點(diǎn),利用中位線定理得出EF∥PD,故而EF∥面PCD;(Ⅱ)取AP的中點(diǎn)H,連結(jié)HB,HC,過(guò)B作BO⊥HC于O,連結(jié)OP.則可證AP⊥平面BCH,于是AP⊥OB,結(jié)合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC,于是∠BPO為PB與平面PAC所成的角.利用勾股定理計(jì)算BH,CH,OB,得出sin∠BPO=
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知向量| |=2,| |=1,(2 ﹣3 )(2 )=9.
(1)求向量 與向量 的夾角θ;
(2)求向量 方向上的投影.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的一元二次不等式mx2﹣(1﹣m)x+m≥0的解集為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=log2 +a).
(1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)<0;
(2)若a>0,不等式f(x)<log2(x+ )恒成立,求a的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓,下頂點(diǎn),且離心率.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于 兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

(1)求函數(shù)的極值.

(2)若.

(i)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(ii)求證: 時(shí),不等式恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,是等邊三角形,已知,

(1)設(shè)上的一點(diǎn),證明:平面平面;

(2)求四棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件:①上是減函數(shù),在上是增函數(shù);②是偶函數(shù);③處的切線與直線垂直.

(1)取函數(shù)的解析式;

(2)設(shè),若存在實(shí)數(shù),使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

1)若,求的單調(diào)區(qū)間;

2)若,求的極大值;

3)若,指出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案