Question

【題目】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，下頂點(diǎn)，且離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于， 兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點(diǎn)滿足題意.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 ，由已知得 ， ，又 可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)P（m，0）滿足條件，設(shè)， ，直線方程為，由 消去y整理得， ，根據(jù)韋達(dá)定理及 得 即可求出點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

由已知得 ， ，又，

則橢圓方程為

（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)，設(shè)， ，直線方程為，代入橢圓方程，得，

因此， ，

由得，即，

∴

∴

由于對(duì)任意恒成立，因此

∴恒成立

∴恒成立

即恒成立，因此

綜上，存在點(diǎn)滿足題意.