【題目】已知函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有極大值M，求證：.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分、、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由(1)知只有當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，求出極大值M將不等式轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性證明成立即可.

（1）.

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，，，

則在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間和單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)，令，，恒成立，則在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增.

則函數(shù)沒(méi)有極大值，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)沒(méi)有極大值，

只有當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間和單調(diào)遞減，，

要證明，即證：（），

令（），，

設(shè)，則（），，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是成立，

從而，（），即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn).x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)C1的普通方程和曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）射線(xiàn)與曲線(xiàn)C2交于O，P兩點(diǎn)，射線(xiàn)與曲線(xiàn)C1交于點(diǎn)Q，若△OPQ的面積為1，求|OP|的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn).

（1）證明：DE⊥平面BCC1B1；

（2）若直線(xiàn)BE與平面AA1B1B所成角為30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的圾坐標(biāo)方，且直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求曲線(xiàn)C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若，點(diǎn)滿(mǎn)足，求此時(shí)r的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“一世”又叫“一代”.東漢·王充《論衡·宜漢篇》：“且孔子所謂一世，三十年也”，清代·段玉裁《說(shuō)文解字注》：“三十年為一世，按父子相繼曰世”.而當(dāng)代中國(guó)學(xué)者測(cè)算“一代”平均為25年.另根據(jù)國(guó)際一家研究機(jī)構(gòu)的研究報(bào)告顯示，全球家族企業(yè)的平均壽命其實(shí)只有26年，約占總量的的家族企業(yè)只能傳到第二代，約占總量的的家族企業(yè)只能傳到第三代，約占總量的家族企業(yè)可以傳到第四代甚至更久遠(yuǎn)（為了研究方便，超過(guò)四代的可忽略不計(jì)）.根據(jù)該研究機(jī)構(gòu)的研究報(bào)告，可以估計(jì)該機(jī)構(gòu)所認(rèn)為的“一代”大約為（ ）

A.23年B.22年C.21年D.20年

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為不等的正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，我們稱(chēng)滿(mǎn)足條件“對(duì)任意的，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列．

（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明；

（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列．

① 若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

② 若，且對(duì)任意給定正整數(shù)（），有成等比數(shù)列，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當(dāng)的面積最大時(shí)，AC邊上的高為_______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，設(shè)函數(shù)，．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿(mǎn)足？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

注：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中盈不足章中有這樣一則故事：“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊. 齊去長(zhǎng)安三千里. 良馬初日行一百九十三里，日增一十二里；駑馬初日行九十七里，日減二里．” 為了計(jì)算每天良馬和駑馬所走的路程之和，設(shè)計(jì)框圖如下圖. 若輸出的 的值為 350，則判斷框中可填（ ）

A. B.

C. D.

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