Question

14．已知函數y=mx²-2x+1．
（1）如果m=1，且x∈[-2，1]，求函數y的取值范圍；
（2）解關于m的方程f（m）=0；
（3）當x∈[1，2]時，y≥0恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出對稱軸，判斷區(qū)間[-2，1]為減區(qū)間，即可得到最值，進而得到所求范圍；
（2）運用因式分解的方法，即可得到方程的解；
（3）運用參數分離，再由配方求得右邊的最值，進而得到m的范圍．

解答 解：（1）m=1時，y=x²-2x+1=（x-1）²，
區(qū)間[-2，1]在對稱軸x=1的左邊，為減區(qū)間，
即有最小值為（1-1）²=0，最大值為（-2-1）²=9，
則y的取值范圍是[0，9]；
（2）f（m）=m•m²-2m+1=0，
即有（m-1）（m²+m-1）=0，
解得m=1或m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
（3）當x∈[1，2]時，y≥0恒成立，
即為m≥$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$的最大值，
由g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1，
$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，為遞增區(qū)間，
即有g（1）取得最大值，且為1，
則m≥1．
即有實數m的范圍是[1，+∞）．

點評 本題主要考查二次函數的值域和最值的求法，注意對稱軸和區(qū)間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．