Question

4．如圖，有-直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有-棵樹與兩墻的距離分別是a米（0＜a＜12），4米，不考慮樹的粗細，現(xiàn)在想用16米長的籬笆，借助墻角圍成-個矩形的花圍ABCD，并要求將這棵樹圍在花圃內或在花圃的邊界上．設BC=x米，此矩形花圍的面積為y平方米．
（1）寫出y關于x的函數(shù)關系，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）當BC為何值時，花圃面積最大？

Answer 1

分析 （1）要使樹被圈進去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，由此可確定函數(shù)的變量的范圍．設長BC=x米，寬CD=（16-x）米，所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]，由于對稱軸x=8，根據0＜a＜12，故要進行分類討論：即8≤a＜12；4≤a＜8；0＜a＜4，從而可求y=f（x）的最大值．

解答 解：（1）要使樹被圈進去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，
因為籬笆長為16米，所以當長BC=x米時，寬CD=（16-x）米．
由于BC≥a，CD≥4，故a≤x≤12，
所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x，其定義域為x∈[a，12]；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]
對稱軸x=8，又因為0＜a＜12，
所以，當8≤a＜12時，x=a時，y_max=-a²+16a；
當4≤a＜8時，x=8時，y_max=64；
當0＜a＜4時，x=8時，y_max=64．

點評 本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查二次函數(shù)最值的求解，解題的關鍵是讀懂題意，正確分類．