Question

函數(shù)f（x）=（m-1）lnx+mx²+1（m∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對任意的x₁＞x₂＞0，總有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）依題意，可求得f′（x）=

m-1

x

+2mx=

2mx2+m-1

x

，對m分m≤0，0＜m＜1與m≥1三類討論，即可研究f（x）的單調(diào)性；
（2）令h（x）=f（x）-2x，則h（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，于是當(dāng)x＞0時，h′（x）=

2mx2-2x+m-1

x

≥0恒成立?2mx²-2x+m-1≥0（x≥0）恒成立，從而可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（m-1）lnx+mx²+1，m∈R，x＞0，
∴f′（x）=

m-1

x

+2mx=

2mx2+m-1

x

，
①m≥1時f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
②0＜m＜1時f′（x）=

2m(x+ 1-m 2m )(x- 1-m 2m )

x

，
當(dāng)0＜x＜

1-m 2m

，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x≥

1-m 2m

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
③m≤0時f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵對任意的x₁＞x₂＞0，總有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）恒成立，
∴h（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞0時，h′（x）=

m-1

x

+2mx-2=

2mx2-2x+m-1

x

≥0恒成立，
∴2mx²-2x+m-1≥0恒成立，
∴

2m＞0 (-2)2-4×2m(m-1)≤0

，即

m＞0 2m2-2m-1≥0

，
解得：m≥

1+ 3

2

．
∴實數(shù)m的取值范圍為[

1+ 3

2

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判定，突出分類討論思想、函數(shù)方程思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)法與構(gòu)造法，屬于難題．