Question

設

a

=（cos（2x+

π

4

），sinx），

b

=（

2

2

，2sinx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若∠A為銳角△ABC的一個內(nèi)角，求f（A）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用三角恒等變換化簡 f（x）=

a

•

b

=

2

2

cos（2x+

π

4

）+2sin²x 的解析式為1-

2

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）根據(jù)0＜∠A＜

π

2

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（A）的值域．

解答： 解：（1）由題意可得 f（x）=

a

•

b

=

2

2

cos（2x+

π

4

）+2sin²x 
=

2

2

（cos2x•

2

2

-sin2x•

2

2

）+1-cos2x=1-

1

2

（sin2x+cos2x）
=1-

2

2

sin（2x+

π

4

），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）∵0＜∠A＜

π

2

，
∴

π

4

＜2∠A+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

sin（2A+

π

4

）≤1，
∴1-

2

2

≤f（A）＜1+

1

2

=

3

2

，
即f（A）的值域為[1-

2

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．