Question

已知a、b都是實(shí)數(shù)，a≠0，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）若f（x）＞2，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）對(duì)滿足條件的所有a、b都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對(duì)值的意義，|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而數(shù)軸上滿足|x-1|+|x-2|=2的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．
（2）轉(zhuǎn)化不等式為|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

，利用函數(shù)恒成立以及絕對(duì)值的幾何意義，求出x的范圍即可．

解答： 解：（1）由f（x）＞2，即|x-1|+|x-2|＞2．
而|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而數(shù)軸上滿足|x-1|+|x-2|=2的點(diǎn)的坐標(biāo)為

1

2

和

5

2

，
故不等式|x-1|+|x-2|≥2的解集為﹛x|x≤

1

2

或x≥

5

2

﹜，
（2）由題知，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng) （a+b）（a-b）≥0 時(shí)取等號(hào)，
∴

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2，∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，又由于數(shù)軸上的

1

2

、

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到
1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，故不等式的解集為[

1

2

，

5

2

]，
故答案為[

1

2

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立以及絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，判斷數(shù)軸上滿足|x-1|+|x-2|=2的點(diǎn)的坐標(biāo)為

1

2

和

5

2

，是解題的關(guān)鍵．考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．