【題目】已知圓,直線.軸交于兩點,是圓上不同于的一動點,所在直線分別與交于.

(1)當時,求以為直徑的圓的方程;

2)證明:以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

【答案】1;(2)證明見解析.

【解析】

(1)討論點的位置,根據(jù)直線的方程,直線的方程分別與直線方程聯(lián)立,得出的坐標,進而得出圓心坐標以及半徑,即可得出該圓的方程;

(2)討論點的位置,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出的坐標,進而得出圓心坐標以及半徑,再由圓的弦長公式化簡即可證明.

(1)由圓的方程可知,

①當點在第一象限時,如下圖所示

時,,

所以直線的方程為

,解得

直線的方程為

,解得

的中點坐標為,

所以以為直徑的圓的方程為

②當點在第四象限時,如下圖所示

時,,

所以直線的方程為

,解得

直線的方程為

,解得

的中點坐標為,

所以以為直徑的圓的方程為

綜上,以為直徑的圓的方程為

2)①當點在圓上半圓運動時,取直線軸于點,如下圖所示

設(shè),則

則以為直徑的圓的圓心坐標為,半徑

所以以為直徑的圓截軸所得弦長為

②當點在圓下半圓運動時,取直線軸于點,如下圖所示

設(shè),則

則以為直徑的圓的圓心坐標為,半徑

所以以為直徑的圓截軸所得弦長為

綜上,以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

練習冊系列答案
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