【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為菱形,,是的中點.
(1)證明:平面;
(2)若,,求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得,再由四棱柱是直四棱柱,可得,根據(jù)線面垂直的判定定理判斷可得;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求二面角的余弦值;
解:(1)證明:∵,,∴是等邊三角形,
∴是的中點,∴.
∵四棱柱是直四棱柱,∴平面.
∵平面,∴.
∵,且平面,平面,
∴平面.
(2)解:取的中點,則,由(1)知,直線,,兩兩相互垂直,如圖,以為原點,分別以,,所在直線為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,
∴,,.
設(shè)平面的一個法向量為,
則,即,
令,則,,可得,.
設(shè)平面的一個法向量為,則,即,
令,則,,可得,.
∴,從而,
即二面角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是_________.
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【題目】設(shè)二次函數(shù)的圖像過點和,且對于任意實數(shù),不等式恒成立
(1)求的表達(dá)式;
(2)設(shè),若在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。
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【題目】設(shè)區(qū)間,定義在上的函數(shù)(),集合.
(1)若,求集合;
(2)設(shè)常數(shù).
① 討論的單調(diào)性;
② 若,求證:.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線:,拋物線: ().
(1)若直線過拋物線的焦點,求拋物線的方程;
(2)已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和.
①求證:線段PQ的中點坐標(biāo)為;
②求的取值范圍.
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【題目】將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組,第一組:1;第二組:3,5,7;第三組:9,11,13,15,17;… 表示n是第i組的第j個數(shù),例如,,則( )
A.B.C.D.
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【題目】已知圓,直線.圓與軸交于兩點,是圓上不同于的一動點,所在直線分別與交于.
(1)當(dāng)時,求以為直徑的圓的方程;
(2)證明:以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.
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【題目】在平行四邊形中,,,過點作的垂線,交的延長線于點,.連結(jié),交于點,如圖1,將沿折起,使得點到達(dá)點的位置,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)若為的中點,為的中點,且平面平面,求三棱錐的體積.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線 .
(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系;
(2)若是曲線上的動點,求的取值范圍.
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