【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線交于、兩點(diǎn).
(1)求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,設(shè)、的參數(shù)分別為、,利用韋達(dá)定理求出線段中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù),代入直線的參數(shù)方程可求得點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)利用弦長(zhǎng)公式求得,求出圓心到直線的距離,由此可求得圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值,利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程可化為,化為直角坐標(biāo)方程得,
將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得:,化簡(jiǎn)得,
設(shè)、的參數(shù)分別為、,由韋達(dá)定理得:,于是.
設(shè),則,
故點(diǎn)的直角坐標(biāo)為;
(2)由(1)知:,,
所以,,
又直線的普通方程為,圓心到直線的距離為,圓的半徑.
所以,點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
因此,面積的最大值為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)政府對(duì)PM2.5采用如下標(biāo)準(zhǔn):
某市環(huán)保局從180天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).
(1)求這10天數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù),記表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù),求的分布列;
(3)以這10天的PM2.5日均值來估計(jì)這180天的空氣質(zhì)量情況,記為這180天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù),求的均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方),與y軸的正半軸相交于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是拋物線不同于A,B的點(diǎn),若2,則|BF|:|BA|:|BN|=_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(I)判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(II)若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求的值;
(III)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為是上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于的直線交于異于的兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.證明:直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別是的中點(diǎn),,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在極大值點(diǎn),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,將沿對(duì)角線向上翻折,若翻折過程中長(zhǎng)度在內(nèi)變化,則點(diǎn)所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量,某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽查檢測(cè),現(xiàn)對(duì)某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比,并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分(滿分100分),將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.
(1)求圖中的值,并求綜合評(píng)分的中位數(shù);
(2)用樣本估計(jì)總體,視頻率作為概率,在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取3個(gè)產(chǎn)品,求所抽取的產(chǎn)品中一等品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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