Question

【題目】已知函數(shù)，.

（I）判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（II）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；

（III）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）

【解析】

（I）利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線方程，和函數(shù)聯(lián)立后由判別式分析求解公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（II）寫出函數(shù)表達(dá)式，由得到，求函數(shù)的最小值既是所要求的的值；

（III）寫出函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)造輔助函數(shù)，由原函數(shù)的極值點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分析導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程根的情況，分離參數(shù)后構(gòu)造新的輔助函數(shù)，求函數(shù)的最小值，然后分析當(dāng)大于函數(shù)最小值的情況，進(jìn)一步求出當(dāng)時(shí)的的值，則答案可求．

解：（I）由，得，

（1），又（1），

曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，

代入，得，

當(dāng)或時(shí)，△，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，△，有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，△，沒有公共點(diǎn)．

（II），

由，得，

令，，

在上遞減，在上遞增，

因此，（1）．

（III），

令，

，

即有兩個(gè)不同的根，，

令，

且當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；

當(dāng)時(shí)，

，

，

此時(shí)．

即時(shí)，

．