Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P，Q，R分別是棱BC，CD，DD₁的中點．下列命題：
①過A₁C₁且與CD₁平行的平面有且只有一個；
②平面PQR截正方體所得截面圖形是等腰梯形；
③AC₁與QR所成的角為60°；
④線段MN與GH分別在棱A₁B₁和CC₁上運動，則三棱錐M-NGH體積是定值；
⑤線段MN是該正方體內(nèi)切球的一條直徑，點O在正方體表面上運動，則

OM

•

ON

的最大值是2．
其中真命題的序號是

 

 （寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①，利用線面平行的性質(zhì)，過A₁C₁且與CD₁平行的平面為A₁BC₁，可判斷①
②，作圖可知，平面PQR截正方體所得截面圖形是正六邊形，可判斷②；
③，利用三垂線定理可知，QR⊥AC₁，可判斷③；
④，作圖，可知V_M-NGH=V_G-MNH=VG-MNC1-VH-MNC1=

1

3

×2MN•GH，由于MN•GH不是定值，可判斷④；
⑤，利用向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)，可知當(dāng)點O，M，N三點共線時，

OM

•

ON

的取得最大值，繼而可求得該最大值，可判斷⑤．

解答： 解：對于①，∵CD₁∥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁，
∴過A₁C₁且與CD₁平行的平面為A₁BC₁，有且只有一個，故①正確；
對于②，如圖，平面PQR截正方體所得截面圖形是正六邊形，不是等腰梯形，故②錯誤；

對于③，∵QR∥CD₁，而CD₁

∥

.

A₁B，又AC₁在平面AA₁B₁B中的射影為AB₁，A₁B⊥AB₁，
由三垂線定理可知，A₁B⊥AC₁，即QR⊥AC₁，故③錯誤；
對于④，如圖，

由圖可知，V_M-NGH=V_G-MNH=VG-MNC1-VH-MNC1=

1

3

×2MN•GH，由于MN•GH不是定值，故④錯誤；
對于⑤，設(shè)點P為此正方體的內(nèi)切球的球心，半徑R=1．
∵

OM

•

ON

≤|

OM

|•|

ON

|，∴當(dāng)點O，M，N三點共線時，

OM

•

ON

的取得最大值．
此時，

OM

•

ON

≤（|

OP

|+|

PM

|）•（|

OP

|-|

PN

|），而|

PM

|=|

PN

|=1，
∴

OM

•

ON

≤|PO|²-1，當(dāng)且僅當(dāng)點P為正方體的一個頂點時上式取得最大值，又正方體的對角線長為2

3

，
∴(

OM

•

ON

)max=(

2 3

2

)2-1=2，
故答案為：①⑤．

點評：本題考查空間線面、面面之間的位置關(guān)系，考查作圖能力、推理運算能力，考查平面向量的數(shù)量積的概念及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題．