Question

設(shè)a、b、c＞0，證明：

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

+

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥

5

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于a、b、c＞0，運(yùn)用二元均值不等式，即可得到a²+b²+c²≥ab+bc+ca，即有

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥1，再對(duì)

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

的分子常數(shù)化，再由三元均值不等式，即可得到

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

3

2

，進(jìn)而得到證明．

解答： 證明：由于a、b、c＞0，a²+b²≥2ab，
b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
相加，得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
即有

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)，①
又

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

=

a+b+c-(b+c)

b+c

+

a+b+c-(a+c)

a+c

+

a+b+c-(a+b)

a+b

=（a+b+c）（

1

c+b

+

1

c+a

+

1

a+b

）-3=

1

2

（（c+b）+（c+a）+（a+b））（

1

c+b

+

1

c+a

+

1

a+b

）-3
≥

1

2

•3

3	(c+b)(c+a)(a+b)

•3

3	1 (c+b)(c+a)(a+b)

-3=

9

2

-3=

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)，②
①+②，得，

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

+

a2+b2+c2 ab+bc+ca

≥

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查均值不等式的運(yùn)用，注意變形，考查推理能力，屬于中檔題．