Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，且過(guò)點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，判斷直線(xiàn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線(xiàn)與以為直徑的圓相切． 證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用離心率和，，的平方關(guān)系，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，則，，聯(lián)立直線(xiàn)的直線(xiàn)方程與，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線(xiàn)的方程，再求出到直線(xiàn)的距離，因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)與以為直徑的圓相切．

解：（1）橢圓 的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，

，解得，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

（2）設(shè)，則，

直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立，解得，點(diǎn)，

點(diǎn)，

則直線(xiàn)的方程為，

即，

，直線(xiàn)的方程可化為，

到直線(xiàn)的距離為，

故直線(xiàn)與以為直徑的圓相切．