【題目】已知橢圓 的離心率為,且過點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線過點(diǎn)且與軸垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn),作軸于點(diǎn),延長(zhǎng)到點(diǎn)使得,連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1) (2) 直線與以為直徑的圓相切. 證明見解析
【解析】
(1)利用離心率和,,的平方關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè),,則,,聯(lián)立直線的直線方程與,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線的方程,再求出到直線的距離,因?yàn)?/span>,所以直線與以為直徑的圓相切.
解:(1)橢圓 的離心率為,且過點(diǎn),
,解得,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ;
(2)設(shè),則,
直線的方程為,
聯(lián)立,解得,點(diǎn),
點(diǎn),
則直線的方程為,
即,
,直線的方程可化為,
到直線的距離為,
故直線與以為直徑的圓相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次高三年級(jí)模擬考試中,數(shù)學(xué)試卷有一道滿分10分的選做題,學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試,為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況,作為下一步教學(xué)的參考依據(jù),計(jì)劃從900名考生的選做題成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本,為此將900名考生選做題的成績(jī)按照隨機(jī)順序依次編號(hào)為001~900.
(1)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣,從編號(hào)為001~090的成績(jī)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定的成績(jī)編號(hào)為025,求樣本中所有成績(jī)編號(hào)之和;
(2)若采用分層抽樣,按照學(xué)生選擇A題目或B題目,將成績(jī)分為兩層.已知該校高三學(xué)生有540人選做A題目,有360人選做B題目,選取的樣本中,A題目的成績(jī)平均數(shù)為5,方差為2,B題目的成績(jī)平均數(shù)為5.5,方差為0.25.
(i)用樣本估計(jì)該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差;
(ii)本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績(jī)的中位數(shù)和B題目成績(jī)的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步調(diào)查,求取到的兩個(gè)成績(jī)來自不同題目的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:,直線:.
(1)若直線與拋物線相切,求直線的方程;
(2)設(shè),直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,若存在點(diǎn),滿足,且線段與互相平分(為原點(diǎn)),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,且過點(diǎn),圓是以線段為直徑的圓,經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交于兩點(diǎn),且滿足?若存在,請(qǐng)求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用一平面去截球,所得截面面積為,球心到截面的距離為3,為截面小圓圓心,為截面小圓的直徑.
(1)計(jì)算球的表面積和體積;
(2)若是截面小圓上一點(diǎn),,分別是線段和的中點(diǎn),求異面直線與所成的角(結(jié)果用反三角表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中,決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車,甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次,乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次,甲型車每天費(fèi)用320元,乙型車每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌荆瑒t通過合理調(diào)配車輛,運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為( )
A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將數(shù)列的前項(xiàng)分成兩部分,且兩部分的項(xiàng)數(shù)分別是,若兩部分和相等,則稱數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割.
(1)若,試寫出數(shù)列的前項(xiàng)和所有等和分割;
(2)求證:等差數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割;
(3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為:,且數(shù)列的前項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割,求所有滿足條件的.
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